sábado, 18 de setembro de 2010

ATIVIDADE 7 E 8

UNIDADES 7 - REGRA DE TRÊS

Objetivos de Aprendizagem

Ao final desta unidade você será capaz de:

· Definir os tipos de regra de três;

· Realizar o cálculo de regras inversas e diretas;

· Associar as regras com suas utilizações.

OBSERVAÇÕES:

· Leia a unidade 7 e baseado no que você leu resolva as atividades a seguir.

· É importante lembrar que é necessário apresentar em todas as atividades os cálculos e não somente as respostas.

I) De acordo com a unidade sobre regra de três, responda as atividades abaixo:

1. Uma viagem entre duas cidades foi feita de carro, em 4 dias, a uma velocidade de 75 km/h, viajando-se 9 horas por dia. Viajando a 90 km/h, durante 5 horas por dia. Em quantos dias iríamos de uma cidade à outra?

RESP.

4 DIAS 75 KM/ H 09H/D

X 90 KM/H 05H/D

4 = 90 . 5 --------à X.90.5 = 4.75.9 -----à 450X = 2700

X 75 9 X= 2700 -----à X= 06 DIAS

450

Em 50 dias, uma escola usou 6000 folhas de papel para imprimir provas do tipo A e do tipo B, para 1200 alunos. A escola tem 1150 alunos, no momento. Quantas folhas serão usadas, durante 20 dias, para imprimir dois tipos de provas semelhantes às anteriores?

RESP. 50 DIAS 6.000 1.200

20 DIAS X 1.500

6.000 = 50 .. 1.200 -------à X.50.1200= 6000.20.1150 ------- > 60.000X = 138000000

X 20 1.150 X= 138000000 -------à X= 2.300 FOLHAS

6000

20 pintores, trabalhando 6 horas por dia, pintam um edifício em 4 dias. Quantos dias serão necessários para que 6 pintores, trabalhando 8 horas por dias, pintem o mesmo edifício?

RESP. 08 PESSOAS 06 HORAS 4 DIAS

06 PESSOAS 08 HORAS X

4 = 8 . 20 ---------à X.8.20 = 4.6.6 ----------- > 160X = 144 --------à

X 6 6 X= 144 X= 0,9 DIAS

160

Para asfaltar 345 km de estrada, uma equipe de 15 pessoas levariam 8 dias. Se forem contratadas outras 9 pessoas que trabalhem no mesmo ritmo das pessoas da equipe que já existe. Em quantos dias a nova equipe asfaltará o mesmo trecho de estrada?

RESP. 345 KM 15 PESSOAS 8 DIAS

345 KM 09 PESSOAS X

8 = 9 . 345 --------à X.9.345 = 8.15.345 -----à 3.105X = 41.400

X 15 345 X= 41.400 -----à X= 13,33 DIAS

3.105

5. Uma família com 5 pessoas consome 23 m³ de água a cada 15 dias. Se mais três pessoas com os mesmos hábitos de consumo se juntarem a ela, quantos metros cúbicos de água eles consumirão em cinco semanas?

RESP. 5 PESSOAS 23M³ 15 DIAS

8 PESSOAS X 35 DIAS

23 = 15 . 5 --------à X.15.5 = 23.35.8 -----à 75X = 6.440

X 35 8 X= 6440 -----à X= 85M³

UNIDADE 8 - EQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAUS

Objetivos de Aprendizagem

Ao final desta unidade você será capaz de:

· Definir as equações de 1º e 2º graus;

· Realizar os cálculos das equações de 1º e 2º graus;

· Associar as equações com os respectivos gráficos.

OBSERVAÇÕES:

· Leia a unidade 8 e baseado no que você leu resolva as atividades a seguir.

· É importante lembrar que é necessário apresentar em todas as atividades os cálculos e não somente as respostas.

De acordo com a unidade sobre equações do 1º e 2º graus, responda as atividades abaixo:

1. Se ao dobro de um número real somarmos 6, multiplicarmos esse resultado por 5, subtrairmos 30 e dividirmos pelo próprio número, podemos afirmar que o resultado obtido:

a) Pode ser fracionário.

b) É sempre 10.

c) Pode ser negativo.

d) Depende do número considerado. RESPOSTA

e) É sempre 2.

2. Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na expansão da oferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, abaixo representado. A companhia Vilatel respondeu publicando dias depois o gráfico II, onde pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas. O fato é que, no período considerado, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhas telefônicas.

Analisando os graficos, pode-se concluir que

(A) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o do grafico I.

(B) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendoo II incorreto.

(D) A aparente diferença de crescimento nos dois gráficos decorre da escolha das diferentes escalas. RESPOSTA

(E) Os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas diferentes.

3. O número de individuos de certa população é representado pelo gráfico abaixo.

Em 1975, a população tinha um tamanho aproximadamente igual ao de:

(A) 1960

(B) 1963 RESPOSTA

(D) 1970

(E) 1980

4. Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São Paulo, no período 1985 – 1996, realizado pelo SEADE-DIEESE, apresentou o seguinte gráfico sobre taxa de desemprego.

Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no período considerado.

(A) A maior taxa de desemprego foi de 14%.

(B) A taxa de desemprego no ano de 1995 foi a maior do período.

(D) No período 1985 – 1996, a taxa de desemprego estee entre 8% e 16%. RESP.

(E) A taxa de desemprego foi cescente no período compreendido entre 1988 e 1991.

quinta-feira, 16 de setembro de 2010

Equação de 1º e 2º Grau

Equação é uma sentença matemática representada por uma igualdade na qual aparece uma ou mais letras denominadas incógnitas. O sinal “=” separa a equação em dois membros:

1º membro ? à esquerda do sinal de igual

2º membro ? à direita do sinal de igual

O grau de uma equação é indicado pela maior potência da incógnita.

Exemplos:

x + 3 = 10 é uma equação de 1º grau,

x² + 3x = 7 é uma equação de 2º grau.

Equações de 1º grau

Equação de 1º grau, na incógnita x, é toda igualdade do tipo: ax + b = 0, em que a e b são números reais e a é não nulo. Observe que a equação é de 1º grau pois a incógnita x tem maior expoente igual a 1.

Chama-se raiz ou solução de uma equação a um valor real que, substituído no lugar da incógnita, transforma a equação numa igualdade numérica. O conjunto formado pelas raízes de uma equação chama-se conjunto solução da equação e será indicado por S. Por exemplo, a solução ou raiz da equação 3x – 12 = 0 é x = 4 (pois 3 . 4 – 12 = 0) e seu conjunto solução é então S = {4}.

Para a resolução das equações de 1º grau, proceda da seguinte maneira:

Isole os termos que contêm x de um lado da igualdade e os demais no outro lado; termos que estão somando ou subtraindo passam para o outro lado com a operação contrária da anterior.
Reduza todos os termos com x a um só;
Termos que estão multiplicando ou dividindo a incógnita x passam para o outro lado com a operação contrária da anterior.

Exemplos:

4x + 1 = - 19

4x = -19-1

4x = -20

x = -20/4

x = -5

5 = 2x + 3

-2x = 3-5

-2x = -2

x = -2/-2

x = 1

5x – 9 = 3x + 5

5x-3x = 5+9

2x = 14

x = 14/2

x = 7

3 + x = 4 + 5x

x-5x = 4-3

-4x = 1

x = 1/-4

x = -0,25

5x + (4 – x) = 9 – (x – 6)

5x+4-x = 9-x+6

5x-x+x = 9+6-4

5x = 11

x = 11/5

x = 2,2

y – 4(3y – 6) = y – 8

y-12y+24 = y-8

y-12y-y = -8-24

-12y = -32

y = -32/-12

y = 2,666666

Exercícios:

1) Resolva as equações.

a) x + 9 = 12

b) q – 4 = 7

c) 3y = 15

d) 2x + 3 = 5

e) – 2,5 = b – 0,25

f) – 13n = – 65

g) 2(x + 3) = 5

h) 5(y – 7) = 20

i) 48 – 2(m + 4) = 12

j) 20x – 4 = 5x

k) 5(1 – x) – 2x + 1 = – 3(2+x)

l) 4x = –8x + 36

m) 4(x – 3) = 2x – 5

Respostas

a) 3	b) 11	c) 5	d) 1	e) – 2,25	f) 5	g) – ½
h) 11	i) 14	j) 4/15	k) 3	l) 3	m) 3,5

Equações do 2º grau

Chama-se equação de 2º grau na variável x a toda igualdade que pode ser reduzida a forma ax² + bx + c = 0 com a, b e c são números reais e a é não nulo.

A equação é chamada de 2º grau devido à incógnita x apresentar maior expoente igual a 2. Quando b e c não são zeros (a é sempre não nulo), a equação é chamada completa. Se b = 0 ou c = 0, a equação diz-se incompleta.

Podemos observar que a é o valor que multiplica a variável x², b multiplica x e c é o que chamamos de termo independente.

Todos os casos podem ser resolvidos utilizando a formula de Baskara, onde teremos:

Fórmula de Baskara:

, onde ?= b² - 4ac

Exemplos:

1º equação completa:	2ºequação incompleta:	3º equação incompleta:
3x² + 4x – 5 = 0 a = 3, b = 4 e c = -5 ? = b² - 4ac ? = 4² - 4.3.(-5) ? = 16+60 ? = 76 x = 0,79 e -2,12	x² + 5x = 0 a = 1 , b = 5 e c= 0 ? = b² - 4ac ? = 5²-4.1.0 ? = 25 x = 0 e –5	x² - 4 = 0 a=1, b=0 e c= -4 ? = b² - 4ac ? = 0² -4.1.(-4) ?= 0+16 ?=16 x= 2 e -2

Exercícios:

1. Resolva as equações:

a) x² - 2x = 0

b) 1 – x² = 0

c) 7x² + 13x – 2 = 0

d) 3x² - 7x + 2 = 0

e) 2x² + x = 0

f) 3x² - 4x + 1 = 0

g) x²+ x – 6 = 0

h) -3x² + 6x = 0

i) x – x² = 0

j) 2x² + 3x + 1 = 0

k) x² = 0

l) -5x² = 0

2) O lucro devido à comercialização de certo produto é calculado pela equação

L = q² + 8q – 10, em que q é a quantidade comercializada. Determinar o menor valor de q para o qual o lucro seja de R$ 10,00.

Respostas:

a) 2 e 0	b) - 0,5 e 0	c) 0 e 1	d) 1 e -1
e) 1 e 1/3	f) -1 e -0,5	g) -2 e 1/7	h) 2 e -3
i) 0	j) 2 e 1/3	k) 0 e 2	l) 0

2) q = 2

Exercícios Extras

Equação do 1º. Grau

1 - Resolva as equações abaixo:

Respostas

1 - a) x = – 10

b) x = 7/4

c) x = – 3

d) x = 8/15

e) x = 12

f) x = 12

g) x = – 3

h) x = 9

i) x = 4

j) sem solução

k) solução real

l) sem solução

Equação do 2º. Grau

1 - Resolva as equações abaixo:

Respostas

1 – a) x = ??3

b) x = ??2

c) x = 0 ou x = – 7

d) x = 4 ou x = 0

e) x = ??5

f) x = –2 ou x = –3

g) x = 2

h) x = 8

i) x = 2 ou x = 3

j) sem solução

k) x = 8 ou x=5/2

l) sem solução

m) x = 1 ou x = 1/2

n) x = 2

o) x = 1 ou x = –7

Regra de três

Podemos definir REGRA DE TRÊS ao cálculo ou processo matemático utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas diretas ou grandezas inversamente proporcionais.

O problema que envolve somente duas grandezas diretamente é mais comumente chamado de regra de três simples.

Exemplos de fixação da definição:

1) Um ingresso de show custa R$ 15,00, então, o custo de 06 bilhetes será ?

Grandeza 1: Número do bilhete
Grandeza 2: Preço do bilhete

Cálculos:
01 bilhete          = R$ 15,00
06 bilhetes         = R$ 15,00 x 6
Total: R$ 90,00

2) Um automóvel percorre um espaço de 480 km em 02 horas. Quantos kms ele percorrerá em 06 horas?

Grandeza 1: Distância percorrida
Grandeza 2: Tempo necessário

Cálculos:
Distância 1                  =        480 km / 02 horas
Distância 2                  =        ? / 06 horas

01 hora percorrida = 240 km
06 horas percorrida = 240 km x 6
Resultado: 1440 Kms

* Variantes da regra de três

Direta ou Inversa - È definido na regra de três os termos de “direta ou inversa”, dependendo do tipo de relação que existem entre as duas grandezas envolvidas no processo do problema.

Exemplos de fixação da definição:

a) Regra de três simples direta

Nesta modalidade de regra de três é envolvida duas grandezas diretamente proporcionais, ou seja, quando a variação de uma delas corresponde à mesma variação da outra grandeza dada no problema a ser resolvido.

A montagem da solução deste tipo de problema é feita na mesma ordem de todas as grandezas.

1 – Um certo alimento tem o custo de R$ 5,00 por 05 quilos. Calcular o preço de 10 quilos deste alimento

5
Assim: 10 Kgs do alimento Y custam R$ 10,00

b) Regra de três simples inversa

Nesta modalidade de regra de três são envolvidas duas grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quando existe a variação de uma das grandezas a outra varia, porém de forma contrária, mais na mesma proporção.

A montagem da solução deste tipo de problema é feita invertendo as ordens das grandezas.

2 – Um certo homem percorre uma via de determinada distância com uma bicicleta. Sabendo-se que com a velocidade de 05 Km/h, ele demora 06 horas, quanto tempo este homem gastará com sua bicicleta para percorrer esta mesma distância com uma velocidade 03 Km/h.

03
Assim: O tempo gasto é de 10 horas

* Quadro de fixação da Regra de três direta e inversa

- Regra de três simples direta

- Regra de três simples inversa

Regra de três composta – Este tipo de cálculo de regra de três envolve mais de duas grandezas proporcionais.

Exemplos de fixação da definição:

1) Se 20 homens trabalhando durante 15 dias constroem 500 metros de um muro, quantos homens serão necessários para construir mais 1000 metros deste muro em 30 dias?

Grandeza 1 : Número de homens trabalhando
Grandeza 2 : Tempo de duração do trabalho
Grandeza 3 : Tamanho do muro

2) Se 10 carros consomem em 05 dias a quantidade de 1000 litros de gasolina, quantos carros usaremos para consumir somente 500 litros de gasolina no espaço de 02 dias??

Grandeza 1: Número de carros
Grandeza 2: Número de dias
Grandeza 3: Quantidade combustível

- Método mais prático de solução da regra de três composta

Faça a comparação da grandeza que irá determinar com as demais grandezas. Se esta grandeza for inversa, invertemos os dados dessa grandeza das demais grandezas.

A grandeza a se determinar não se altera, então, igualamos a razão das grandezas e determinamos o valor que se procura.

Veja:

Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias.

Assim: serão necessários 7260 Kgs de ração

* Alguns exercícios resolvidos

1)Se 10 metros de um tecido custam R$ 50,00, quanto custará 22 metros ?
Solução: O problema envolve duas grandezas (quantidade de tecidos e preço da compra)

Assim: 22 metros custarão R$ 110,00

2)Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros poderão fazer 320 tortas

Solução: O problema envolve três grandezas (tempo, número de confeiteiros, quantidade de tortas)

Porcentagem

É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

A gasolina teve um aumento de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Razão centesimal
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Considere o seguinte problema:

João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos:

Calcular 10% de 300.
Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

EXERCÍCIOS:

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro	Fator de Multiplicação
10%	1,10
15%	1,15
20%	1,20
47%	1,47
67%	1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

Desconto	Fator de Multiplicação
10%	0,90
25%	0,75
34%	0,66
60%	0,40
90%	0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

Matrizes

Operações com Matrizes

Matriz Identidade ou Matriz Unidade

Matriz Transposta (At)

É a matriz que se obtém trocando ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz dada.

Se B = (b_ij)_mxn é transposta de A = (a_ij)_mxn, então b_ij = a_ij.

Matriz Diagonal

É uma matriz quadrada onde a_ij = 0, para i

j, isto é, os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.

Matriz Simétrica

É uma matriz quadrada A tal que A^t = A, isto é, a^ij = a^ij para i j.

Matriz Anti-simétrica

É uma matriz quadrada A tal que A^t = -A , isto é, a_ij = -a_ij para i e j quaisquer.

Operações com Matrizes

Igualdade de Matrizes

Duas matrizes A = (a_ij)_mxn e B = (b_ij)_mxn de mesma ordem, são iguais se, e somente se, a_ij = b_ij.

Propriedades da Igualdade

- Se A = B, então A^t = B^t

- (A^t)^t = A

Adição e subtração de Matrizes

A soma de duas matrizes A = (a_ij)_mxn e B = (b_ij)_mxn de mesma ordem é uma matriz C = (a_ij)_mxn tal que C = a_ij + b_ij.

A subtração de matrizes é dada pela sentença:

A – B = A + (– B )

Propriedades da adição de Matrizes

a) A + B = B + A (COMUTATIVA)

b) (A + B) + C = A + (B + C) (ASSOCIATIVA)

c) A + 0 = 0 + A = A (ELEMENTO NEUTRO)

d) A + (-A) = (-A) + A = 0 (ELEMENTO OPOSTO)

e) (A + B)^T = A^T + B^T (TRANSPOSTA DA SOMA)