Equação de 1º e 2º Grau

Equação é uma sentença matemática representada por uma igualdade na qual aparece uma ou mais letras denominadas incógnitas. O sinal “=” separa a equação em dois membros:

1º membro ? à esquerda do sinal de igual

2º membro ? à direita do sinal de igual

O grau de uma equação é indicado pela maior potência da incógnita.

Exemplos:

x + 3 = 10 é uma equação de 1º grau,

x² + 3x = 7 é uma equação de 2º grau.

Equações de 1º grau

Equação de 1º grau, na incógnita x, é toda igualdade do tipo: ax + b = 0, em que a e b são números reais e a é não nulo. Observe que a equação é de 1º grau pois a incógnita x tem maior expoente igual a 1.

Chama-se raiz ou solução de uma equação a um valor real que, substituído no lugar da incógnita, transforma a equação numa igualdade numérica. O conjunto formado pelas raízes de uma equação chama-se conjunto solução da equação e será indicado por S. Por exemplo, a solução ou raiz da equação 3x – 12 = 0 é x = 4 (pois 3 . 4 – 12 = 0) e seu conjunto solução é então S = {4}.

Para a resolução das equações de 1º grau, proceda da seguinte maneira:

• Isole os termos que contêm x de um lado da igualdade e os demais no outro lado; termos que estão somando ou subtraindo passam para o outro lado com a operação contrária da anterior.
• Reduza todos os termos com x a um só;
• Termos que estão multiplicando ou dividindo a incógnita x passam para o outro lado com a operação contrária da anterior.

Exemplos:

4x + 1 = - 19 4x = -19-1 4x = -20 x = -20/4 x = -5

5 = 2x + 3 -2x = 3-5 -2x = -2 x = -2/-2 x = 1

5x – 9 = 3x + 5 5x-3x = 5+9 2x = 14 x = 14/2 x = 7

3 + x = 4 + 5x x-5x = 4-3 -4x = 1 x = 1/-4 x = -0,25

5x + (4 – x) = 9 – (x – 6) 5x+4-x = 9-x+6 5x-x+x = 9+6-4 5x = 11 x = 11/5 x = 2,2

y – 4(3y – 6) = y – 8 y-12y+24 = y-8 y-12y-y = -8-24 -12y = -32 y = -32/-12 y = 2,666666

Exercícios:

1) Resolva as equações.

a) x + 9 = 12 b) q – 4 = 7 c) 3y = 15 d) 2x + 3 = 5 e) – 2,5 = b – 0,25 f) – 13n = – 65 g) 2(x + 3) = 5

h) 5(y – 7) = 20 i) 48 – 2(m + 4) = 12 j) 20x – 4 = 5x k) 5(1 – x) – 2x + 1 = – 3(2+x) l) 4x = –8x + 36 m) 4(x – 3) = 2x – 5

Respostas

1)

a) 3	b) 11	c) 5	d) 1	e) – 2,25	f) 5	g) – ½
h) 11	i) 14	j) 4/15	k) 3	l) 3	m) 3,5

Equações do 2º grau

Chama-se equação de 2º grau na variável x a toda igualdade que pode ser reduzida a forma ax² + bx + c = 0 com a, b e c são números reais e a é não nulo.

A equação é chamada de 2º grau devido à incógnita x apresentar maior expoente igual a 2. Quando b e c não são zeros (a é sempre não nulo), a equação é chamada completa. Se b = 0 ou c = 0, a equação diz-se incompleta.

Podemos observar que a é o valor que multiplica a variável x², b multiplica x e c é o que chamamos de termo independente.

Todos os casos podem ser resolvidos utilizando a formula de Baskara, onde teremos:

Fórmula de Baskara: , onde ?= b² - 4ac

Exemplos:

1º equação completa:	2ºequação incompleta:	3º equação incompleta:
3x² + 4x – 5 = 0 a = 3, b = 4 e c = -5 ? = b² - 4ac ? = 42 - 4.3.(-5) ? = 16+60 ? = 76 x = 0,79 e -2,12	x² + 5x = 0 a = 1 , b = 5 e c= 0 ? = b² - 4ac ? = 52-4.1.0 ? = 25 x = 0 e –5	x² - 4 = 0 a=1, b=0 e c= -4 ? = b² - 4ac ? = 02 -4.1.(-4) ?= 0+16 ?=16 x= 2 e -2

Exercícios:

1. Resolva as equações:

a) x² - 2x = 0 b) 1 – x² = 0 c) 7x² + 13x – 2 = 0 d) 3x² - 7x + 2 = 0

e) 2x² + x = 0 f) 3x² - 4x + 1 = 0 g) x2 + x – 6 = 0 h) -3x² + 6x = 0

i) x – x² = 0 j) 2x² + 3x + 1 = 0 k) x2 = 0 l) -5x² = 0

2) O lucro devido à comercialização de certo produto é calculado pela equação

L = q² + 8q – 10, em que q é a quantidade comercializada. Determinar o menor valor de q para o qual o lucro seja de R$ 10,00.

Respostas:

1)

a) 2 e 0	b) - 0,5 e 0	c) 0 e 1	d) 1 e -1
e) 1 e 1/3	f) -1 e -0,5	g) -2 e 1/7	h) 2 e -3
i) 0	j) 2 e 1/3	k) 0 e 2	l) 0

2) q = 2

Exercícios Extras

Equação do 1º. Grau

1 - Resolva as equações abaixo:

Respostas

1 - a) x = – 10

b) x = 7/4

c) x = – 3

d) x = 8/15

e) x = 12

f) x = 12

g) x = – 3

h) x = 9

i) x = 4

j) sem solução

k) solução real

l) sem solução

Equação do 2º. Grau

1 - Resolva as equações abaixo:

Respostas

1 – a) x = ??3

b) x = ??2

c) x = 0 ou x = – 7

d) x = 4 ou x = 0

e) x = ??5

f) x = –2 ou x = –3

g) x = 2

h) x = 8

i) x = 2 ou x = 3

j) sem solução

k) x = 8 ou x=5/2

l) sem solução

m) x = 1 ou x = 1/2

n) x = 2

o) x = 1 ou x = –7